UN ANALISIS COMPARATIVO DEL USO DE DIAGRAMAS EN DOS PRACTICAS MATEMATICAS DE LA ANTIGUEDAD.
| Autor | Garcia-Perez, Manuel J. |
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Introduccion
En este articulo se analizara comparativamente como dos practicas matematicas de la antiguedad hicieron uso de los diagramas en relacion con la busqueda y establecimiento de resultados matematicos. Para ello, centraremos nuestra atencion tanto en los Elementos de Euclides como en el Zhou bi (Zhou bi suanjing) y los Nueve capitulos de los procedimientos matematicos (Jiuzhang suanshu). (1)
Con esto no queremos decir que estemos representando o analizando toda la matematica griega o china de la antiguedad; por ejemplo, existen diferencias entre la practica matematica presentada en los Elementos de la que presenta Autolico en Sobre las esferas en movimiento, o Arquimedes en Sobre las espirales (Heath 1921; Netz 1999). Nuestro proposito es menos general, se centra en comparar como en las obras que mencionamos al inicio de este trabajo se hizo uso de los diagramas para demostrar el "Teorema de Pitagoras", el cual es conocido en las matematicas chinas como "Procedimiento gou gu".
Una de las razones que hace a este caso de estudio interesante se relaciona con las afirmaciones que usualmente historiadores de las matematicas, o matematicos, han hecho acerca de la poca importancia de las matematicas "orientales" frente a las occidentales. (2) A veces, se afirma que estas matematicas suelen centrar su atencion en la busqueda de soluciones a problemas meramente practicos, (3) sin alcanzar, por lo tanto, el rigor deductivo o naturaleza puramente matematica que puede encontrarse en los trabajos de la antigua Grecia. Un caso llamativo que sirve para ilustrar esta situacion es el del matematico Hardy, quien llego a afirmar que "los griegos fueron los primeros matematicos que aun son 'reales' para nosotros hoy dia. Las matematicas orientales pueden ser una curiosidad interesante, pero las matematicas griegas son lo real" (Hardy 1940/1992, p. 12). (4)
Con afirmaciones de este tipo se asume que cualquier tipo de matematicas alejadas del ideal griego se consideran de menor importancia historica o meras curiosidades. De esta manera, la diversa y rica historia de las diferentes elaboraciones matematicas se reduce a simplificaciones excesivas, en las que se busca una reconstruccion racional de la genesis y evolucion del pensamiento matematico que no corresponde con su desarrollo "real"; esto es, historico, culturalmente influenciado, contextual, etcetera.
Sin embargo, en la interpretacion de Hardy podemos ver que, aunque las matematicas orientales le resultan menos importantes, asume alguna caracteristica distintiva en ellas que lo obligan a considerarlas tambien como matematicas. Esto nos conduce a pensar que existe alguna caracteristica comun entre las diversas practicas matematicas, por distintos que sean sus desarrollos, metodos y herramientas de razonamiento, que nos permite caracterizarlas como genuinamente matematicas.
En relacion con este punto, nuestra propuesta es considerar la distincion que De Regt y Dieks (2005, pp. 138-139) presentan entre los niveles macro, meso y micro en el analisis de las practicas cientificas. Creemos que esta consideracion teorica puede aplicarse de igual manera al analisis de las practicas matematicas, y permitiria dar una caracterizacion general de lo que estas son sin que se ignore su variacion historico-cultural.
En el nivel macro necesitamos una caracterizacion del conocimiento matematico que sea lo suficientemente general como para poder reconocer los desarrollos y las practicas actuales, asi como los que emergieron en la antiguedad, pertenecientes a un mismo corpus de conocimiento. Dar una definicion precisa de lo que son las matematicas en este nivel es una tarea que excede los limites de este trabajo. Autores como Ferreiros (2016, pp. 28-34; pp. 40 y ss.) han intentado describirlas como un cuerpo de conocimiento que surge por expansiones sucesivas del estudio--mediante el uso de simbolos--de numeros y/o formas; por otro lado, Joseph (2011) afirma que las matematicas son "cualquier actividad que surja de, o genere directamente, conceptos relacionados con numeros o configuraciones espaciales, junto a alguna forma de [razonamiento] logico" (p. 30). En nuestro trabajo comparativo sera suficiente considerar, tal y como Ferreiros (2016, pp. 112-152) propone, que la transicion de las tecnicas practicas en geometria--practicas de medicion o construccion de artefactos para la produccion de dibujos--al desarrollo de un cuerpo teorico de conocimiento esta vinculada principalmente con la emergencia de ciertos objetivos y valores en la propia practica. La direccion hacia un cuerpo de conocimiento teorico en geometria y matematicas, en general, esta relacionada con la busqueda de la exactitud y la generalizacion de los resultados.
El nivel meso tiene que ver con como las diferentes comunidades de matematicos hacen matematicas. En este nivel, cada comunidad puede desarrollar practicas cualitativamente distintas que darian lugar a diversas organizaciones del conocimiento, guiadas por diferentes metas o valores--para las cuales podran usar distintas herramientas de razonamiento, como formulas o diagramas--, y asumir ciertos valores que consideren relevantes para sus propias practicas.
El nivel micro hace referencia a como un matematico en particular hace matematicas y cuales son sus creencias al respecto de estas, las cuales pueden no estar alineadas con las de la comunidad a la que este pertenece. En este trabajo en ningun momento hablaremos de este nivel, pues no es relevante para nuestros propositos. (5)
En la seccion 2 mostraremos la importancia que esta distincion tiene para algunas asunciones basicas de la filosofia de las practicas matematicas, especificamente, aquellas que enfatizan la importancia de la historia para el analisis del conocimiento matematico, asi como el papel que desempenan los agentes que conforman las comunidades matematicas en su desarrollo. En esta misma seccion presentaremos una propuesta particular, dentro de este marco general, en la que se consideraran los diagramas como herramientas manipulativas (Giardino 2013). Posteriormente, aplicaremos dicho marco teorico en nuestro caso de estudio, esto es, en los Elementos de Euclides (seccion 3) asi como en el Zhou bi y en los Nueve capitulos (seccion 4), haciendo enfasis en el uso de diagramas para la demostracion del teorema de Pitagoras o procedimiento gou gu. Por ultimo, en la seccion 5 presentaremos las similitudes y diferencias que podemos encontrar entre estas dos practicas matematicas. Destacaremos la idea de que, aunque cada una de estas practicas siguiera estrategias diferentes a la hora de desarrollar el conocimiento matematico, ambas estarian guiadas por dos valores fundamentales, como la generalidad y la exactitud de sus resultados. Por ultimo, discutiremos algunas posibles consecuencias de nuestro analisis contextual para la evaluacion de la mayor o menor "matematicidad" de las distintas practicas analizadas, asi como la posible valoracion de su importancia dentro de la historia de las matematicas.
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Sobre practicas matematicas y diagramas
En las ultimas decadas un mayor numero de investigadores se ha interesado en el analisis de las practicas matematicas, como puede verse en el libro que Mancosu (2008) edita, o en las monografias recientes de Ferreiros (2016) o Wagner (2017). Este interes viene unido a la asuncion de que para analizar y entender apropiadamente la emergencia y evolucion del conocimiento matematico tenemos que centrar nuestro interes en como los matematicos hacen matematicas.
En este sentido, cada comunidad matematica--nivel meso--desarrollara diferentes herramientas dentro de sus practicas, se centrara en problemas determinados, elaborara diferentes consideraciones teoricas segun las metas y valores por los que se guien, etc., todo ello relacionado con el contexto en el que dichas practicas emerjan y evolucionen. (6) Por lo tanto, la actividad matematica no se considera algo estatico, sino un fenomeno complejo donde diferentes aspectos emergen conjunta e interactivamente, influenciados por ciertos condicionantes--teoricos, metodologicos, etc.--de cada comunidad matematica en cada contexto (Ferreiros 2016).
En este trabajo centraremos nuestra atencion en un tipo particular de herramientas, los diagramas, cuyas principales caracteristicas presentaremos a continuacion. Como mostraremos en la seccion 5, cada comunidad matematica hara un uso diferente de estas herramientas, y les otorgara un determinado estatus epistemologico. Esto, por supuesto, forma parte de la naturaleza historica y contextual de las matematicas que defendemos en este trabajo.
Autores como Manders (2008a; 2008b), Giardino (2013) y Ferreiros (2016) han reevaluado el valor epistemologico de los diagramas en las practicas matematicas, asi como su importancia en la justificacion, explicacion y/o entendimiento matematico; ya sea en el uso de diagramas en general, como lo hace Giardino, o con especial atencion a la practica euclidiana, como lo hacen Ferreiros y Manders.
Nuestra propuesta se centra en la idea de que los diagramas son herramientas, y que precisamente por la posibilidad de manipularlos podemos justificar su valor epistemologico dentro de las diferentes practicas matematicas (Giardino 2013). De manera general, podemos entender diagrama como "todos los casos de representaciones en dos dimensiones, siendo esta bidimensionalidad relevante para la manera en la que la informacion es presentada y leida en ellos" (Giardino 2017, p. 500). Por lo tanto, el enfasis se pone en los diagramas como herramientas cognitivas que permiten mostrar informacion espacialmente, que el matematico usa para diferentes tareas en su propia practica matematica (Giardino 2017).
En esta propuesta, los diagramas se analizan en relacion con los agentes que los crean y utilizan. De esta manera, lo importante es entender las razones por las que se diseno y para que va a ser utilizado, esto es, la intencion detras de su...
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