La estructura logica de la teoria de los juegos.
| Autor | Garc |
| Cargo | Report |
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Introducción
El elemento teórico básico (1) de la "economía neoclásica" se obtiene mediante la formulación axiomática del concepto de juego dinámico. La primera finalidad de este artículo es ofrecer una definición de este concepto que sea a la vez rigurosa, general y enteramente abstracta. Esto equivale a caracterizar de manera extrínseca (2) los modelos de la teoría de los juegos. La segunda es discutir el contenido de la ley fundamental de la teoría de los juegos dinámicos. La tercera es discutir la aplicabilidad empírica de esta teoría y mostrar que las condiciones conocidas como "axiomas de la preferencia revelada" (Samuelson 1938, 1947) no son más que casos especiales de una cierta condición de ligadura.
La clase de los juegos dinámicos es suficientemente general para casi todas las aplicaciones económicas. Su horizonte temporal puede ser finito o infinito, la secuencia temporal discreta o continua, pero aquí sólo consideraré la estructura de los juegos de horizonte finito con tiempo discreto por dos razones. Una de ellas es que una primera formulación de la estructura lógica del concepto de juego dinámico no necesita involucrarse en los detalles de los juegos de tiempo continuo u horizonte infinito; la segunda es que es directa la generalización a los de tiempo continuo, a través del teorema de Kolmogórov-Bochner (véase Rao 1981, p. 9 y cap. III).
En la sección 3 introduzco el aparato conceptual que permite definir dichos juegos y en la sección 4 los cruciales conceptos de estrategia. Las estrategias conductuales determinan medidas de probabilidad sobre eventos que tienen como elementos historias factibles del juego. Dedico la sección 5 a explicar de qué manera dichas medidas quedan definidas sobre los conjuntos de tales eventos. Otro concepto central de la teoría es el de equilibrio, que abordo en la sección 6. La literatura usual de juegos ha procedido a buscar condiciones suficientes para que un juego posea un equilibrio, pero una formulación general de los fundamentos lógicos de la teoría no debe tratar de proporcionar algún conjunto de tales condiciones, sino más bien formular la ley fundamental que deben satisfacer todos los juegos. Habré de formular esta ley en la sección 7, proporcionando con ello una definición general y precisa del concepto de juego. En la sección 8 y final discutiré las condiciones de ligadura de la teoría y bosquejaré someramente la forma de la aserción empírica.
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Motivación
Antes que nada, debe tenerse presente que éste no es un texto de economía sino de filosofía. Es verdad que trata acerca de una teoría que se aplica ampliamente en economía, pero por ello mismo es un texto de metateoría. Su novedad --si es que contiene alguna-- consiste en presentar la teoría de los juegos como un "reino intelectual", como una unidad integral y sistemática, que incluye una explicación general de la forma en que se aplica a los fenómenos empíricos. No pretende tratar de manera específica y explícita los conceptos novedosos en teoría de juegos, pero su generalidad debe poder abarcar éstos sin ningún problema. Hasta donde sé, ningún texto de teoría de juegos se ha preocupado por presentar la teoría de esta manera. Debemos recordar que la filosofía, como decía Hegel, vuelve sobre lo real (aunque en este caso lo "real" sea solamente una teoría científica) para reconstruirlo como un reino intelectual. Hace su aparición hacia el final del día, pintando en gris su objeto: "Cuando la filosofía pinta su gris sobre gris, surge una forma de vida envejecida, y con el gris no la rejuvenece, sino solamente la conoce: el búho de Minerva extiende sus alas sólo en el ocaso" (Hegel 1970, p. 28). (3)
Para captar el sentido de los conceptos matemáticos, el lector se puede imaginar que la teoría de juegos trata de agentes ideales con poderes computacionales y memoria ilimitados, así como con funciones de utilidad inmutables. Estos agentes tienen conocimiento perfecto acerca de las estrategias de los demás jugadores, así como de los espacios de probabilidad que las mismas inducen, aunque no necesariamente memoria perfecta; es decir, en una etapa determinada del juego, información acerca de las jugadas precisas que los demás jugadores han realizado previamente. La teoría pretende que los equilibrios sociales que se encuentren de facto en realidad vienen determinados por un equilibrio estratégico, el cual consiste en que la respuesta de cualquiera de los agentes es óptima con respecto a las respuestas de los demás (esto se definirá con exactitud más adelante). En otras palabras, los agentes se comportan como lo hacen porque han escogido sus respectivas estrategias conductuales de tal manera que conjuntamente forman un equilibrio.
En la sección 5 habré de demostrar detallada y rigurosamente que dichas estrategias de hecho determinan una medida de probabilidad [my] sobre el espacio de todas las historias posibles del juego, haciendo más probables unas historias que otras. Por otro lado, la observación empírica de la conducta de los agentes se resume en una medida de probabilidad v, obtenida estadísticamente, también sobre el mismo espacio de historias posibles, que muestra a algunas como más plausibles que otras. Es importante destacar que [my] se obtiene a partir de la suposición de un sistema de estrategias para los agentes, mientras que u se obtiene empíricamente y es lógicamente independiente de [my]. La ley fundamental de la teoría expresa precisamente que ambas están relacionadas de cierta forma, a saber, que v debe ser igual o aproximadamente igual a [my]. Es decir, que la conducta observada es racionalizable como conducta estratégica en equilibrio. Por ello cabe decir que [my] está determinada de manera subjetiva, mientras que u es una frecuencia relativa observada. Se puede interpretar la ley de la teoría como si expresara que la frecuencia observada es el resultado de un comportamiento estratégico racional (que posiblemente tome en cuenta estados probables de la naturaleza).
Se podría pensar que la condición de ligadura (la cual es una generalización del axioma fuerte de la preferencia revelada de SamuelsonHouthakker) es demasiado rígida al exigir que, en toda aplicación de la teoría al "mismo" conjunto de agentes, la función de utilidad de cualquiera de ellos se deba suponer como idéntica. Sin embargo, ésta es una condición absolutamente indispensable, sin la cual sería imposible obtener, por ejemplo, la función de demanda walrasiana en los modelos que representan la conducta de un consumidor. De hecho, esta condición es el fundamento de la estática comparativa, ya que sin ella este ejercicio sería imposible. Debe ser considerada como una definición implícita del término "mismo agente".
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Prolegómenos conceptuales de los juegos dinámicos
Consideremos [iota] o [iota] + 1 jugadores en un conjunto [iota] = {1, ..., [iota]} o = {0, 1, ..., [iota]}, de los cuales 1, ..., [iota] son personales y 0 es el azar (o la naturaleza, la cual aunque aparece como factor solamente en algunos juegos, aquí será tratada como un jugador personal, con la salvedad de que carece de función de utilidad). Decir que [iota] excluye el O significa que en algunas aplicaciones la "naturaleza" no es tomada en cuenta. El índice i recorrerá exclusivamente este conjunto. Consideremos también el horizonte temporal [tau], el cual es un conjunto de etapas {1, ..., [tau]}. El índice t recorrerá exclusivamente el conjunto [tau], aunque también se usará el índice k. Cada jugador i tiene un espacio de acciones posibles en la etapa t, el cual será denotado por [X.sub.it]. [F.sub.it] es un [sigma]-álgebra sobre [X.sub.it]. Si [X.sub.it] es discreto --a lo sumo numerable--, [F.sub.it] es la familia de todos los subconjuntos de [X.sub.it]; si [X.sub.it] es continuo, [F.sub.it] es el álgebra de Borel sobre [X.sub.it]. Como hay juegos en los que a algún jugador i no le corresponde "tirar" en alguna etapa t, consideraremos que para ese jugador, en esa etapa, [X.sub.it] es un conjunto unitario con el elemento n "no hacer nada".
Al comienzo de la etapa 1, al inicio del juego, cada jugador i es instado a elegir una de las acciones en su correspondiente espacio de acciones posibles [X.sub.i1], o bien a elegir una distribución de probabilidades sobre dicho espacio. Todas las acciones en [X.sub.i1] son factibles, de modo que el conjunto de todos los resultados factibles de las elecciones en la etapa 1 es [X.sub.1] = [x.sup.[iota].sub.i=0] [X.sub.i1]. Un elemento típico de [X.sub.1] es un ([iota] + 1)-tuplo de la forma [x.sub.1] = ([x.sub.01], [x.sub.11], ..., [x.sub.[iota]1]), donde [x.sub.i1] [elemento de] [X.sub.i1](i = 0, 1, ..., [iota]). Cualquiera de estos tuplos es una posible historia inicial --de longitud 1-- del juego. El conjunto de todos los resultados posibles --no necesariamente factibles-- del juego en la etapa t es [X.sub.t] = [x.sup.[iota].sub.i=0] [X.sub.it].
Qué elecciones sean factibles en la etapa t > 1 dependerá de la historia del juego hasta la etapa t - 1; el conjunto de las acciones factibles para i en esta etapa es [A.sub.it][[h.sub.t-1]], donde [h.sub.t-1] = ([x.sub.1], ..., [x.sub.t-1]). Denotamos con H = [x.sup.[tau].sub.t=1]] [X.sub.t] el conjunto de todos las historias posibles. Una historia completa es un elemento de H. Una historia inicial hasta la etapa t - 1 es una secuencia finita de elecciones ([x.sub.1], [x.sub.2], ..., [x.sub.t-1]). Dada la historia h [elemento de] X, los resultados hasta la etapa t - 1 dentro de esa historia se denotan como
[h.sub.t-1] = [a.sub.t-1] (h) = ([x.sub.1], [x.sub.2], ..., [x.sub.t-1]).
Convenimos en que [a.sub.0](h) es el conjunto unitario de la historia mula o. La secuencia de resultados de la etapa t en adelante se denota como
[b.sub.t](h) = ([x.sub.t],[x.sub.t+1], ..., [x.sub.[tau]])
Como ya dije, qué acciones sean factibles para un jugador en una etapa t determinada dependerá de la historia inicial del juego hasta esa etapa, de modo que dependerá de [a.sub.t-1](h). Esto...
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