Estilo polimodal en la demostración euclidiana.
| Autor | Seoane, José |
[Polymodal Style in Euclidean Proof]
Distinguir entre la expresión y la estructura de una demostración puede permitir disolver algunas confusiones filosóficas. Por ejemplo, evitar el error de trasladar (de manera inadvertida y acrítica) propiedades de la expresión o comunicación de la prueba a su estructura; quizá el caso más notable de tal ejercicio de contrabando intelectual sea la adopción de la exigencia de finitud para la demostración (qua estructura), con base en la obvia finitud de la demostración (qua expresión). (1) Ahora bien, una vez advertidos de la distinción entre la estructura y la expresión, otros fenómenos previamente invisibles surgen en nuestro horizonte intelectual. Así, dos demostraciones pueden tener la misma estructura y su comunicación puede presentar diferencias; casos triviales son la expresión de la demostración mediante idiomas distintos o con notaciones irrelevantemente diversas de las constantes lógicas. Además de situaciones nada interesantes como éstas, hay otras que merecen una atención reflexiva. Por ejemplo, cuando exponemos una demostración (y, en general, un argumento cualquiera) solemos adaptar el estilo al receptor y a nuestros propósitos. En relación con la demostración matemática, Chateaubriand señala específicamente:
Las demostraciones son parte de la actividad de las matemáticas; sirven para establecer resultados y para que la gente vea la configuración del terreno. Los recursos que se utilizan en las pruebas dependen mucho de la audiencia y del propósito de las demostraciones, pero generalmente son mucho más variados de los que se encapsulan en las demostraciones idealizadas de una teoría de la prueba. (Chateaubriand 2005, p. 305; las cursivas son mías.)
Más aún, la modalidad o el formato de la comunicación (entendiéndola como parte de los "recursos" que se señalan en la cita precedente) puede variar dependiendo del receptor y/o de los propósitos del agente matemático. Podemos dedicar atención a estas alteraciones adoptando como unidad de análisis la totalidad de la demostración. (2) Pero hay asimismo una variante en la apreciación de este fenómeno que surge al privilegiar como unidad de análisis los distintos "momentos" o "eta pas" de la demostración. Es decir, podemos intentar analizar los formatos o los estilos comunicacionales (resultantes de la consideración del destinatario o de los propósitos del agente) correspondientes a dichos "momentos" expresivos. Luego, obtendríamos información relevante del, por así denominarlo, "estilo comunicacional" de la demostración considerada en su sentido global como combinación de aquellos modos o formas comunicacionales. Aunque estos formatos de los diversos tramos de una demostración singular pueden diferir en dimensiones distintas, me interesa estudiar aquí un caso particular, a saber, cuando la diferencia reside en el grado de explicitación descriptiva de la correspondiente estructura deductiva. (3) Dicho de otra forma, me interesa explorar las razones que subyacen en la diversificación intencionada (en la comunicación de una demostración singular) de formas expresivas que contrastan en términos de su diferente nivel de explicitud en la descripción de los respectivos tramos deductivos. Como se sigue de esta caracterización, el nivel de explicitud no es meramente una cuestión de detalle expositivo, pues se trata de qué se describe y qué se omite (total o parcialmente) de la estructura de la demostración. En consecuencia, el talante expresivo posee un calado estructural relevante. Para simplificar la exposición, denominemos polimodal al estilo, a la expresión, a la comunicación (de la demostración matemática) que posea este rasgo.
¿Es este estilo una rareza? No lo creo. Si estoy, por ejemplo, explicando una demostración a mis estudiantes en clase, quizá opte por concentrarme en los pasajes que pienso que les pueden resultar más difíciles y me permita una referencia rápida a aquellos con un grado menor de dificultad. O, si se trata de una comunicación a colegas en un congreso, tal vez privilegie los trechos que considero relevantes y novedosos, despreocupándome de los menos creativos. En cualquier caso, la administración de las variadas modalidades expresivas es un recurso expositivo ordinario para comunicar una demostración; los motivos para usar tal expediente no se limitan, por supuesto, a los ejemplos que ofrezco aquí.
Ahora bien, encontrar entonces que Euclides se sirva de un estilo polimodal en sus Elementos no debiera resultar sorprendente--dada la relativa informalidad de su práctica deductiva--. Pero, ¿cuál podría ser la racionalidad subyacente en el uso de tal recurso representacional? o, habida cuenta de la decisiva interacción entre la estructura y la expresión, ¿cuál es la lógica explicativa de esa dinámica expresiva? Razonar sobre estas interrogantes, y específicamente en el contexto de la demostración euclidiana, es el objeto de este artículo. (4)
El itinerario expositivo será el siguiente. En el apartado 1 caracterizo y ejemplifico el estilo polimodal de la demostración euclídea. En el apartado 2 ofrezco un nuevo ejemplo cuya única novedad reside en que se trata de una apelación a una polimodalidad relativamente más sofisticada, pues introduce la característica heterogeneidad inferencial de la demostración euclídea. (5) En el apartado siguiente, ofrezco una conjetura inicial (inspirada en los casos estudiados antes) acerca de la racionalidad que subyace en la polimodalidad: la motivación estético/pedagógica. En el apartado 4 estudio una clase de demostraciones polimodales euclidianas radicalmente novedosa; tales demostraciones (que se encuentran en los libros I y III de los Elementos) revelan una suerte de patrón argumental común. En el apartado siguiente muestro cómo las demostraciones de este tipo obligan a una relativización de la hipótesis original: en ellas la estructura determina la expresión y luego la motivación principal ya no puede ser estético/pedagógica, sino que es de naturaleza estructural o lógica--en sentido lato--. El apartado 6 expone el contraste entre los dos tipos de discurso polimodal que he identificado, respectivamente, en las pruebas que se examinan en los apartados 1, 2 y 3. Por último, dedico un apartado para una módica reflexión metodológica acerca del uso de la distinción a la expresión y la estructura.
1
Empecemos por intentar describir (en forma detallada) cómo se manifiesta, en el caso particular de los Elementos, el fenómeno polimodal. Ciertas demostraciones en Euclides requieren el tratamiento de múltiples casos. Por ejemplo, el caso de los ángulos [alfa] y [beta] y el caso de los ángulos [delta] y [gamma]. La inferencia (a los efectos de la exhaustividad que se exige estructuralmente) debe entonces tratar ambas alternativas. Sin embargo, en la comunicación de la demostración uno de los casos (por ejemplo, el que corresponde a [alfa] y [beta]) se trata en forma detallada, morosamente, y el otro (el caso de los ángulos [delta] y [gamma]) es descrito en forma general--con indicaciones acerca de cómo podría tratarse en forma semejante al primer caso--. Dicho de otra forma: podemos distinguir en el estilo polimodal euclidiano, entendidos en forma contextualizada, dos formatos o modalidades expresivas: un formato (contextualmente) preciso y detallado, y un formato (contextualmente) más genérico y aproximado. Esta diversificación expositiva responde, ocasionalmente, a presiones distintas (incluidos, aunque no de manera excluyente, las audiencias y los propósitos). Queda así suficientemente bien caracterizada la forma de la polimodalidad en la demostración euclidiana que me interesa estudiar; cualquier lectora o lector de los Elementos puede identificar en sus demostraciones (con absoluta certeza) los dos tramos o bloques expresivos mencionados. ¿Por qué? Pues porque, en general, Euclides hace todo el trabajo: luego de ofrecer una demostración, nos dice explícitamente que "de manera semejante demostraríamos que" se da tal y tal cosa o emplea formulaciones equivalentes--salvo en ciertos casos obvios--.
Veamos algunos ejemplos. Empecemos justo por los casos obvios, pues configuran una situación especial: en ciertos casos, el texto no se refiere en forma explícita a la ejecución de una parte de la demostración porque, aunque sea esencial en la estructura de la prueba, el receptor o destinatario conoce perfectamente cómo desarrollarla y, eventualmente, el agente posee determinados propósitos que se satisfacen mejor con la simple omisión de la expresión. Es decir, el agente considera que es innecesaria la referencia a la parte (expresivamente) ausente, pero tal ausencia no acarrea un yerro lógico, sino meramente una estrategia expositiva. Se omite decir "puede usted construir la parte restante porque es muy similar a la que desarrollamos aquí", pero así se interpreta en forma estándar la comunicación. Se trata, podríamos decir, de un "caso límite" del fenómeno que quiero considerar.
Introduzcamos una notación práctica: designemos con "[B.sub.1]" al bloque o tramo expresivo que representa en forma precisa y detallada la trama inferencial correspondiente, y con "[B.sub.2]" al bloque o tramo expresivo que representa en forma más general y compacta la respectiva trama demostrativa. Si hubiera que retratar ahora el formato expresivo de los casos "límite" referidos antes podríamos hacerlo así: "[B.sub.1]/[B.sub.2]"--donde "[B.sub.1]" está en negritas para representar que el bloque correspondiente se encuentra en forma explícita, mientras que el bloque "[B.sub.2]" no se refiere en la expresión de la prueba--. Ilustremos esta situación a través de la demostración de I.6. (6)
Se trata de una prueba que se estructura como una demostración por absurdo. Luego, se da por supuesta la negación de lo que se pretende demostrar. Como lo que se pretende probar es que los lados (que subtienden ángulos iguales) son iguales, se parte de que son desiguales. Y se razona así:
Pues si AB no es...
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