Portafolios de inversión bajo un entorno de riesgo

AutorCarlos Montero Moreno
Páginas39-66

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3.1. Modelo de Markowitz

El modelo de Markowitz plantea que al momento de tener dos o más títulos se puede formar una cartera o portafolio de inversión; si se combinan, el resultado a obtener será una disminución en el nivel de riesgo y una optimización del rendimiento a obtener, lo cual no podría obtenerse si se dedicaran los recursos a invertir los títulos de manera independiente; en otras palabras, no sería eficiente tener todos recursos financieros en un solo instrumento financiero, por el contrario, Markowitz sugiere diversificar dichos instrumentos para reducir, en la medida de lo posible, la exposición al riesgo y maximizar el rendimiento de los mismos.

El modelo de portafolio de inversión también se le conoce dentro del campo de las finanzas como MODELO DE VARIANZA MINIMA y como se verá más adelante, la varianza y la covarianza jugarán un papel preponderante para la formación del portafolio de inversión en cuestión.

3.1.1. Construcción de un portafolio de inversión con dos instrumentos financieros

Para entender la metodología referente a la construcción de un portafolio de inversión, partiremos del caso más simple, es decir, a partir de dos títulos, los cuales generalmente se refieren a acciones.

Para formar un portafolio de inversión, se deben seleccionar los precios de las dos emisoras que integrarán el portafolio de inversión, posteriormente se deberá obtener el rendimiento de ambos títulos, mismo que se obtiene a través de la siguiente fórmula:

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Donde:

Pt = Precio actual

Pt-1 = Precio anterior

Una vez obtenido el rendimiento de cada título, se procede a calcular el promedio, la varianza y la desviación estándar, cuyas fórmulas se revisaron en el capítulo 2.

Para ejemplificar lo anterior, se tomará el precio de las acciones de “C” y “B” del período de enero 2014 a febrero 2015, cuyos rendimientos se muestran en el cuadro siguiente:

Cuadro 3.1. Rendimiento de las acciones

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Con esta información se procederá a calcular el rendimiento promedio, la varianza y la desviación estándar de cada título, lo cual se muestra en el cuadro siguiente:

Cuadro 3.2. Rendimiento y riesgo de “D” y “B”

Donde:

E(P) = Rendimiento promedio del título

VAR(P) = Varianza del título

DST(P) = Desviación estándar del título (representa el riesgo)

Para poder observar la relación existente entre el riesgo y el rendimiento, en la siguiente gráfica se muestran los resultados antes obtenidos:

Gráfico 3.1. Relación Riesgo – Rendimiento

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Este gráfico prueba el teorema que afirma que a mayor nivel de riesgo de un instrumento financiero, le corresponde un mayor nivel de rendimiento.

Los resultados antes obtenidos se refieren al riesgo y rendimiento que de manera individual obtendrían las acciones de “D” y “B”.

Siguiendo la metodología de Markowitz, lo que se buscará ahora será el rendimiento esperado o promedio del portafolio bajo el plan-teamiento de la combinación de los dos títulos.

En este sentido, para obtener el rendimiento esperado del portafolio combinado, se plantea la siguiente fórmula:

(Fórmula 3.2)

Donde:

E(P) = Rendimiento esperado del portafolio combinado

w = ponderador

E(D) = Valor esperado de “D”

E(B) = Valor esperado de “B”

0

El ponderador es un parámetro que puede tomar un valor entre cero u uno, lo cual significa que se pueden esperar diversas combinaciones que generarán a su vez una gama de posibilidades para establecer la relación riesgo-rendimiento.

Para ejemplificar lo anterior, se utilizarán los resultados de los cuadros 3.1 y 3.2 y para calcular el rendimiento esperado del portafolio combinado se tomará como ponderador un valor del 50%, es decir, que se invertirá la mitad de los recursos en cada título.

Continuando, ahora se procederá a realizar el cálculo del riesgo del portafolio combinado, cuya fórmula es la siguiente:

(Fórmula 3.3)

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Donde:

o2(P) = Varianza del portafolio combinado

o2(X) = Varianza del título “X” (Para el ejemplo sería “D”)

o2(Y) = Varianza del título “Y” (Para el ejemplo sería “B”)

o2(P) = (0.5)2 * (0.0019) + 2(0.5) * (1 - 0.5)

* (0.000293308) + (1 – 0.5)2 * (0.003)

= 0.0014

Para obtener el riesgo del portafolio combinado, sólo hay que extraer la raíz cuadrada de la varianza, lo cual queda así:

En el siguiente gráfico se resumen los resultados obtenidos.

Gráfico 3.2. Portafolio combinado

Lo anterior significa que al canalizar el 50% de los recursos del portafolio en cada título, se reduce el riesgo y se optimiza el rendimiento esperado.

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A continuación se presenta un ejercicio con varias combinaciones de los dos títulos que forman el portafolio de inversión, cuyo objetivo fundamental es abrir un abanico de posibilidades para el inversionista, lo cual depende del grado de aversión al riesgo, más adelante se expondrán alternativas que permitan obtener una combinación de instrumentos financieros que permita precisamente optimizar el portafolio que se esté analizando.

Cuadro 3.3. Combinaciones riesgo-rendimiento.

Gráfico 3.3. Combinaciones riesgo-rendimiento

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3.1.2. Construcción de un portafolio de inversión con tres instrumentos financieros

Hasta este momento se ha trabajado con el caso más simple para formar un portafolio de inversión, pero en el mundo real de las inversiones financieras es bien conocido que para optimizar dicho portafolio se requiere utilizar más de dos instrumentos financieros para reducir la exposición al riesgo y maximizar el rendimiento.

En este sentido, se utilizará un modelo de Markowitz con tres instrumentos financieros y posteriormente se hará un ejercicio para formar un portafolio de inversión mayor a tres títulos.

Para hacer más eficiente la aplicación del modelo, se trabajará directamente con la matriz VARIANZA-COVARIANZA, esto permitirá calcular de manera más rápida los elementos de dicha matriz.

Retomaremos nuevamente los precios y rendimientos de “D” y “B”, pero se adicionará una acción más, que en este caso sería “L”.

Cuadro 3.4. Precios y rendimientos de “D”, “B” y “L”

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Con esta información se obtendrá el rendimiento, la varianza y la desviación estándar de cada acción en particular, cuyos resultados son:

Cuadro 3.5. Rendimiento, varianza y desviación estándar

Asimismo, a partir de la información del cuadro 3.4 se genera la matriz VARIANZA-COVARIANZA, cuyos resultados son los siguientes:

Cuadro 3.6 Matriz VARIANZA-COVARIANZA

A partir de la matriz VARIANZA-COVARIANZA se definirá otra matriz, a la cual se denominará como matriz de PONDERACIONES, misma que se define de la siguiente manera:

Cuadro 3.7. Matriz VARIANZA-COVARIANZA para tres instrumentos

Donde:

(Wx), (Wy) y (Wz) son las ponderaciones de los tres títulos y las covarianzas ya fueron definidas.

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Al igual que el portafolio con dos títulos, se partirá de una posición balanceada, es decir, se combinarán las tres acciones en el portafolio en una proporción del 33.3333% para cada una y posteriormente se realizarán otras combinaciones. Esto arroja el siguiente resultado:

Cuadro 3.8. Valores de la matriz de ponderaciones

Para obtener el rendimiento esperado del portafolio combinado se utilizará la siguiente fórmula:

(Fórmula 3.4)

Donde:

wn = ponderador los “n” títulos que forman el portafolio

E(P) = Rendimiento esperado del portafolio combinado

E(X), E(Y) y E(Z) =...

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